不可压缩~Navier-Stokes~方程是计算流体力学中一个基础代表性模型,　在描述以下流体问题时:

(1)~动脉硬化病人的血液流动,

(2)~水流流过底部覆盖上泥浆和鹅卵石的排水管或沟渠,

(3)~石油在砂层上面或下面流动,

(4)~水流流过净化装置以及雨水通过渗透层形成地下水等,
传统的~Dirichlet~边界条件已不再适用于整个区域边界,　因此摩擦型非线性边界条件是有必要考虑到模型方程中的\cite{FujitaH1}.　本文主要研究针对问题~(1)(2)~提出的带有摩擦型非线性滑移边界条件(其中~(3)(4)~对应于摩擦型渗透边界条件)的~Navier-Stokes~方程,　此类边界条件的次可微性使其控制方程的变分形式为第二类变分不等式问题(难点~(i)).　此外,　对~Navier-Stokes~方程本身的数值方法研究也一直是一个热点问题,　研究者们会面临另外两个难点:　(ii)~非线性对流项的存在,　(iii)~速度和压力由不可压条件相耦合.　为了克服难点~(i)(ii)(iii),　许多数值方法被提出,　如稳定化方法,　正则化方法,　加罚方法,　多重网格方法,　特征线方法等.　另外,　动脉硬化逐渐成为引起人类心脑血管病的主要诱因,　因此采用滑移边界条件来恰当地模拟动脉硬化病人的血管瘤问题将是一个新的难点~(iv).
基于以上难点和不同的目标,　本论文旨在研究求解带有摩擦型非线性滑移边界条件的~Navier-Stokes~方程的有限元方法,　有限体积方法和间断~Galerkin~方法,　主要内容分为以下几个方面:


一,　提出了求解带有摩擦型非线性滑移边界条件的定常~Navier-Stokes~方程的低阶稳定化有限元方法和有限体积方法.　在已有的求解变分不等式问题的数值方法中,　要得到最优收敛估计需对解的正则性做额外假设,　如对于~Stokes~变分不等式问题,　当用线性元求解时需假设解~$\boldsymbol　u\in　[H^2(\Gamma_S)]^d$($\Gamma_S$~为区域中的滑移边界),　为了放松对这一条件的要求,　借用~Simpson~数值积分公式来逼近连续变分形式中的滑移边界积分项这一想法\cite{GlowinskiR-LJL-TR,GlowinskiR1,KashiwabaraT1},　在第一节采用低阶有限元空间~$\boldsymbol　P_1-P_1/\boldsymbol　P_1-P_0$~离散~(难点~(iii)),　得到了定常~Navier-Stokes~变分不等式问题的低阶稳定化有限元格式,　并对通过引入~Lagrange~乘子转化成的连续变分等式问题采用同样技巧离散,　证明了离散变分不等式和等式这两个问题的等价性,　得到了速度关于~$H^1,　L^2$-范数、压力关于~$L^2$-范数的最优误差估计,　最后光滑解算例验证了理论上的最优收敛阶,　后台阶流模型用来检验格式的稳定性,　进一步将该数值格式应用于动脉硬化病人的血液流动(难点~(iv))的模拟,　实验结果揭示了动脉硬化,　动脉功能障碍等与血液流动的动力学特征有密切关系.　第二节基于有限体积方法的局部守恒性和简洁性,　将其运用到我们研究的目标模型上,　提出了低阶稳定化有限体积方法,　在得到格式稳定性分析和解的存在唯一性结果之后,　推导了该方法下的速度关于~$H^1$-范数和压力关于~$L^2$-范数的最优误差估计,　并通过数值算例加以验证.





二,　建立了求解带有非线性滑移边界条件的非定常~Navier-Stokes~方程的全离散特征线稳定化有限元方法.　对于存在的难点~(i)(ii),　采用正则化方法\cite{KikuchiN-OdenJT}可使变分不等式问题转化成等式形式,　而特征线方法\cite{SuliE}可有效减弱由于非线性对流部分处理不当而引起的非物理震荡,　本部分即是基于这两个方法的特点,　再结合低阶有限元对来逼近目标模型,　得到了关于时间一阶离散的低阶特征稳定化有限元格式,　　证明了该格式在无散度空间是无条件稳定的,　推导了关于时间离散的~Bochner~空间范数下的最优误差估计,　　最后数值算例部分检验了理论分析结果以及展示了滑移现象的发生,　并模拟了二维简化分叉血管流模型.

三,　这部分首次提出了采用间断~Galerkin~有限元方法来求解定常~Navier-Stokes~变分不等式问题.　该方法最大的一个优势是能很好地捕捉间断信息,　这恰恰是我们在模拟滑移现象发生时速度出现间断所需要的.　首先严格推导了此类变分不等式问题所满足的间断~Galerkin~格式,　随后证明了该格式的稳定性和数值解的存在唯一
性,　在得到速度关于破裂的~$H^1$-范数和压力关于~$L^2$-范数的误差估计之后,　给出数值算例,　不仅验证理论分析的正确性,　而且揭示了不同摩擦函数~$g$~与滑移现象是否发生的关系,　最后速度沿着滑移边界的水平分量的图像说明了间断~Galerkin~方法在捕捉间断信息方面具有独特优势,　进一步验证了本文采用间断~Galerkin~方法求解该问题的可行性和有效性.